\(∆ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ \), đặt \(AB = c, AC = b, BC = a, AH = h\); \(AH\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) đến cạnh huyền \(BC\).
Ta có: \(\displaystyle h = {{bc} \over a}\)
- Khi quay tam giác vuông \(ABC\) quanh cạnh huyền \(BC\) một vòng thì cạnh \(AB\) và \(AC\) vạch nên hai hình nón có chung đáy có bán kính đáy bằng đường cao \(AH\) và tổng chiều cao \(2\) hình nón bằng cạnh huyền \(BC\) và thể tích hình sinh ra là:
\(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}\pi .A{H^2}. HB + {1 \over 3}\pi .A{H^2}.HC\)
\( \displaystyle = {1 \over 3}A{H^2}.BC \)
\(\displaystyle = {1 \over 3}\pi {\left( {{{bc} \over a}} \right)^2}.a = {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3a}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{V_1^2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\pi {b^2}{c^2}}}{{3a}}} \right)}^2}}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\) (1)
- Khi quay \(∆ABC\) quanh cạnh \(AB\) một vòng ta thu được hình nón có chiều cao \(AB = c\), bán kính đáy \(AC = b\) và thể tích hình sinh ra là:
\(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}\pi .A{C^2}.AB = {1 \over 3}\pi {b^2}c\)
\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over {V_2^2}} = {1 \over {\left( \displaystyle {{{\pi {b^2}c} \over 3}} \right)^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}}\)
- Khi quay \(∆ABC\) quanh cạnh \(AC\) một vòng ta thu được hình nón có chiều cao \(AC = b\), bán kính đáy \(AB = c\) và thể tích hình sinh ra là:
\(\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}.AC = {1 \over 3}\pi {c^2}b\)
\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over {V_3^2}} = {1 \over {\left(\displaystyle {{{\pi b{c^2}} \over 3}} \right)^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}}\)
Ta có:
\(\displaystyle {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {9 \over {{\pi ^2}{b^4}{c^2}}} + {9 \over {{\pi ^2}{b^2}{c^4}}} \)\(\,\displaystyle = {{9({b^2} + {c^2})} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)
Áp dụng định lí Pytago vào \(∆ABC\) vuông tại \(A\), ta có:
\({b^2} + {c^2} = {a^2} \)
\(\displaystyle \Rightarrow {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}} = {{9({b^2} + {c^2})} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\)\(\,\displaystyle= {{9{a^2}} \over {{\pi ^2}{b^4}{c^4}}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle {1 \over {V_1^2}} = {1 \over {V_2^2}} + {1 \over {V_3^2}}\).
