Xét hai tam giác \(AEB\) và \(AFC\)
Có \(AB = AC\) (\(∆ ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat {ABE} =\displaystyle {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\) và \(\widehat A\) là góc chung
\( \Rightarrow \Delta AEB = \Delta AFC\left( {g.c.g} \right)\)
\( \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại \(A\)
\( \Rightarrow \widehat {AFE} =\displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\)
và trong tam giác \(\Delta ABC:\)\(\,\,\widehat B = \displaystyle {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\)
\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B \Rightarrow FE//BC\)
\(\Rightarrow\) tứ giác \(BFEC\) là hình thang.
Ta có: \(\widehat B=\widehat C\) (tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\))
\(\Rightarrow\) hình thang\(BFEC\) là hình thang cân.
\(FE//BC\) \(\Rightarrow \widehat {FEB}=\widehat {CBE}\) (hai góc so le trong)
Mà \(\widehat {CBE}=\widehat {FBE}\) (\(BE\) là phân giác góc \(B\))
\(\Rightarrow \widehat {FBE}=\widehat {FEB}\)
\(\Rightarrow \Delta BFE\) là tam giác cân tại \(F\)
\(\Rightarrow EF=BF\)
