Bài 2.65 trang 133 SBT giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(\displaystyle y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}\)

b) \(\displaystyle y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\)

c) \(\displaystyle y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} \)

d) \(\displaystyle y = \sqrt {\log (x - 1) + \log (x + 1)} \)

Sử dụng lý thuyết:

- Hàm số \(\displaystyle y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) xác định và \(\displaystyle f\left( x \right) \ge 0\).

- Hàm số \(\displaystyle y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) xác định và \(\displaystyle f\left( x \right) > 0\).

a) Hàm số xác định khi: \(\displaystyle {4^x} - 2 > 0 \Leftrightarrow {2^{2x}} > 2\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

Vậy tập xác định là \(\displaystyle D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

b) ĐKXĐ: \(\displaystyle \frac{{3x + 2}}{{1 - x}} > 0 \Leftrightarrow  - \frac{2}{3} < x < 1\).

Vậy TXĐ: \(\displaystyle D = \left( { - \frac{2}{3};1} \right)\).

c) ĐKXĐ: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x + 2 > 0\\\log x + \log \left( {x + 2} \right) \ge 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x >  - 2\\\log \left[ {x\left( {x + 2} \right)} \right] \ge 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x\left( {x + 2} \right) \ge 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + 2x - 1 \ge 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x \ge  - 1 + \sqrt 2 \\x \le  - 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow x \ge  - 1 + \sqrt 2 \).

Vậy TXĐ \(\displaystyle D = \left[ { - 1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

d) ĐKXĐ: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x + 1 > 0\\\log \left( {x - 1} \right) + \log \left( {x + 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x >  - 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} - 2 \ge 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt 2 \\x \le  - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \sqrt 2 \).

Vậy TXĐ: \(\displaystyle D = \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).