\(a)\)\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{5\left( {x + 2y} \right) = 3x - 1} \cr {2x + 4 = 3\left( {x - 5y} \right) - 12} \cr} } \right. \cr \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{5x + 10y = 3x - 1} \cr {2x + 4 = 3x - 15y - 12} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 10y = - 1} \cr {x - 15y = 16} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{2x + 10y = - 1} \cr {2x - 30y = 32} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{40y = - 33} \cr {x - 15y = 16} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{y = \displaystyle - {{33} \over {40}}} \cr
{x - \displaystyle 15.\left( { - {{33} \over {40}}} \right) = 16} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle - {{33} \over {40}}} \cr
{x = 16 - \displaystyle {{99} \over 8}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle- {{33} \over {40}}} \cr
{x = \displaystyle{{29} \over 8}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) = \displaystyle \left( {{{29} \over 8}; - {{33} \over {40}}} \right)\)
\(b)\)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4{x^2} - 5\left( {y + 1} \right) = {{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \cr
{3\left( {7x + 2} \right) = 5\left( {2y - 1} \right) - 3x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4{x^2} - 5y - 5 = 4{x^2} - 12x + 9} \cr
{21x + 6 = 10y - 5 - 3x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x - 5y = 14} \cr
{24x - 10y = - 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{24x - 10y = 28} \cr
{24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{0x + 0y = 39} \cr
{24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr} \)
Phương trình \(0x + 0y = 39\) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
\(c)\)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{2x + 1} \over 4} - {{y - 2} \over 3} = {1 \over {12}}} \cr
\displaystyle{{{x + 5} \over 2} = {{y + 7} \over 3} - 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3\left( {2x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 1} \cr
{3\left( {x + 5} \right) = 2\left( {y + 7} \right) - 24} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x + 3 - 4y + 8 = 1} \cr
{3x + 15 = 2y + 14 - 24} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 4y = - 10} \cr
{3x - 2y = - 25} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x - 2y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 25} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{0x + 0y = 20} \cr
{3x - 2y = -25} \cr} } \right. \cr} \)
Phương trình \(0x + 0y = 20\) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
\(d)\)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{3s - 2t} \over 5} + {{5s - 3t} \over 3} = s + 1} \cr
\displaystyle{{{2s - 3t} \over 3} + {{4s - 3t} \over 2} = t + 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3\left( {3s - 2t} \right) + 5\left( {5s - 3t} \right) = 15s + 15} \cr
{2\left( {2s - 3t} \right) + 3\left( {4s - 3t} \right) = 6t + 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{9s - 6t + 25s - 15t = 15s + 15} \cr
{4s - 6t + 12s - 9t = 6t + 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{19s - 21t = 15} \cr
{16s - 21t = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3s = 9} \cr
{16s - 21t = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{s = 3} \cr
{16.3 - 21t = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{s = 3} \cr
{21t = 48 - 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{s = 3} \cr
{t = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((s; t) = (3; 2).\)
