a) Đặt \(\displaystyle t = \ln x\left( {t \ne 1} \right)\) ta được: \(\displaystyle \frac{{t + 2}}{{t - 1}} < 0 \Leftrightarrow - 2 < t < 1\).
Suy ra \(\displaystyle - 2 < \ln x < 1 \Leftrightarrow {e^{ - 2}} < x < e\).
Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle \frac{1}{{{e^2}}} < x < e\).
b) Đặt \(\displaystyle t = {\log _{0,2}}x\) ta được: \(\displaystyle {t^2} - t - 6 \le 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow - 2 \le t \le 3\)
Suy ra \(\displaystyle - 2 \le {\log _{0,2}}x \le 3\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 0,{2^3} \le x \le 0,{2^{ - 2}}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{{125}} \le x \le 25\).
Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle \frac{1}{{125}} \le x \le 25\).
c) ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 > 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 1\end{array} \right.\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 < x < 3\\x < - 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(\displaystyle \log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < {\left( {3 - x} \right)^2}\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 5x - 11 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{11}}{5}\)
Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}2 < x < \frac{{11}}{5}\\x < - 1\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm là \(\displaystyle \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2;\frac{{11}}{5}} \right)\).
d) ĐK: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| > 0\\\left| {x + 4} \right| > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 4\end{array} \right.\).
Khi đó bpt \(\displaystyle \Leftrightarrow \ln \left| {(x - 2)(x + 4)} \right| \le \ln 8\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left| {{x^2} + 2x - 8} \right| \le 8\) \(\displaystyle \Leftrightarrow - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x \ge 0\\{x^2} + 2x - 16 \le 0\end{array} \right.\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 0\end{array} \right.\\ - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 1 + \sqrt {17} \end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 2\\0 \le x \le - 1 + \sqrt {17} \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm là \(\displaystyle \left[ { - 1 - \sqrt {17} ; - 2} \right] \cup \left[ {0; - 1 + \sqrt {17} } \right]\).
