Bài 2.72 trang 134 SBT giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\displaystyle (2x - 7)\ln (x + 1) > 0\)

b) \(\displaystyle (x - 5)(\log x + 1) < 0\)

c) \(\displaystyle 2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\)

d) \(\displaystyle \ln (3{e^x} - 2) \le 2x\)

a) \(\displaystyle (2x - 7)\ln (x + 1) > 0\). ĐK: \(\displaystyle x + 1 > 0 \Leftrightarrow x >  - 1\).

+) TH1: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x - 7 > 0\\\ln \left( {x + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{7}{2}\\x + 1 > 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{7}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{7}{2}\)

+) TH2: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x - 7 < 0\\\ln \left( {x + 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{7}{2}\\x + 1 < 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{7}{2}\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 0\)

Kết hợp điều kiên ta được \(\displaystyle  - 1 < x < 0\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\displaystyle S = \left( { - 1;0} \right) \cup \left( {\frac{7}{2}; + \infty } \right)\).

b) \(\displaystyle (x - 5)(\log x + 1) < 0\). ĐK: \(\displaystyle x > 0\).

+) TH1: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 5 > 0\\\log x + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\\log x <  - 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x < \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\left( {VN} \right)\)

+) TH2: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 5 < 0\\\log x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\log x >  - 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\x > \frac{1}{{10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} < x < 5\)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \frac{1}{{10}} < x < 5\).

Vậy tập nghiệm là \(\displaystyle \left( {\frac{1}{{10}};5} \right)\).

c) Đặt \(\displaystyle t = {\log _2}x\), ta có bất phương trình \(\displaystyle 2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow (t + 2)(2{t^2} + t - 1) \ge 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 \le t \le  - 1\\t \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l} - 2 \le {\log _2}x \le  - 1\\{\log _2}x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{ - 2}} \le x \le {2^{ - 1}}\\x \ge {2^{\frac{1}{2}}}\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\\x \ge \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

d) ĐK: \(\displaystyle 3{e^x} - 2 > 0 \Leftrightarrow {e^x} > \frac{2}{3}\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow x > \ln \frac{2}{3}\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow 3{e^x} - 2 \le {e^{2x}}\).

Đặt  ta được \(\displaystyle 3t - 2 \le {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 \ge 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le 1\end{array} \right.\).

\(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} \ge 2\\{e^x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \ln 2\\x \le 0\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x \ge \ln 2\\\ln \frac{2}{3} < x \le 0\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm là \(\displaystyle \left( {\ln \frac{2}{3};0} \right] \cup \left[ {\ln 2; + \infty } \right)\).