a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \)
\( \Delta ' = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \)
\(= 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\( \displaystyle {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \)
\(\displaystyle {x_2} = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2 \)
Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức đã cho bằng nhau.
b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \)
\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)x - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \sqrt 3 \left( { - 4} \right) \)
\( = 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \)
\( = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\displaystyle {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \)
\( \displaystyle{x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} \)\(\,\displaystyle= {{ - 2\sqrt 3 } \over 3} \)
Vậy \(x = 2\) hoặc \(\displaystyle x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau.
c) \(- 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 .4 \)
\( = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2 \)
\( = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0 \)
\(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 - 1 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} \)\(\,= - \sqrt 2 \)
\(\displaystyle{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }}\)\(\, = - 2 \)
Vậy \(x = - \sqrt 2 \) hoặc \(x = - 2\) thì hai biểu thức bằng nhau.
d) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 1.2\sqrt 3 \)
\( = 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3 \)
\(\displaystyle {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \)
Vậy \(x = 1 - \sqrt 3 \) hoặc \(x = - 3 - \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau.
e) \( \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x \)\(\,+ 2\sqrt 5 + 1 \)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x \)\(\,- 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x\)\(\, - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2}\)\(\, - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right) \)\(= 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 \)\(\,+ 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \)
\( = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \)
\( = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 \)\(\,+ 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \)
\( = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \)\(\,+ {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 \)\(\,+ 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \)
\(= {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} \)\(\,= 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\( \displaystyle{x_1} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)\(\,\displaystyle= {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \)
\( \displaystyle{x_2} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)\(\,\displaystyle= {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \)
\( = -4 + \sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt {15} \)
Vậy \(x=1\) và \(x = -4 + \sqrt 3 + \sqrt 5 - \sqrt {15} \) thì hai biểu thức bằng nhau.
