Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, AC, AB.\)
Vì \(∆ABC\) là tam giác đều nên \(AB = AC = BC.\)
Xét \(∆ABC\) có \(AB = AC\) nên \(∆ABC\) cân tại \(A\).
\( \Rightarrow BN = CP\) (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập \(26\))
Ta có: \(GB = \dfrac{2}{3}BN;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP\)
Suy ra \( GB = GC = \dfrac{2}{3} BN = \dfrac{2}{3} CP\) (1)
Xét \(∆ABC\) có \(BA = BC\) nên \(∆ABC\) cân tại \(B\).
\( \Rightarrow CP = AM\) (hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên của tam giác cân thì bằng nhau theo định lí ở bài tập \(26\))
Ta có: \(GA = \dfrac{2}{3}AM;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CP\)
Suy ra \(GC = GA = \dfrac{2}{3} CP = \dfrac{2}{3} AM\) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: \(GA = GB = GC\) (điều phải chứng minh).
