Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Đề bài

Tam giác ABC có cạnh \(a = 2\sqrt 3 ,b = 2\) và \(\widehat C = {30^0}\).

a) Tính cạnh c, góc A và diện tích S của tam giác ABC;

b) Tính chiều cao \({h_a}\) và đường trung tuyến \({m_a}\) của tam giác ABC.

Đề bài

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết \(a = 3,b = 4,c = 6\). Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác.

Đề bài

Tam giác ABC có \(a = 2\sqrt 3 ,b = 2\sqrt 2 ,c = \sqrt 6  - \sqrt 2 \). Tính các góc A, B và các độ dài \({h_a}\), R, r của tam giác đó.

Đề bài

Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

a) Tính \({m_a}\), biết rằng a = 26, b = 18, c = 16

b) Chứng minh rằng: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\).

Đề bài

Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:

a) \(2\sin A = \sin B + \sin C\);

b) \(\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\)

Đề bài

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:

a) \(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\);

b) \({h_a} = 2R\sin B\sin C\)

Đề bài

Tam giác ABC có \(bc = {a^2}\). Chứng minh rằng :

a) \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\);

b) \({h_b}.{h_c} = h_a^2\).

Đề bài

Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với \(\sin \) của góc xen giữa chúng.

Đề bài

Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo \(AC = x\), đường chéo \(BD = y\) và góc tạo bởi \(AC\) và \(BD\) là \(\alpha \). Gọi \(S\) là diện tích của tứ giác \(ABCD\).

a) Chứng minh rằng \(S = \dfrac{1}{2}x.y.\sin \alpha \).

b) Nêu kết quả trong trường hợp \(AC\) vuông góc với \(BD\).

Đề bài

Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng hình bình hành \(ABDC'\). Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD \) và tam giác \(ACC'\) có diện tích bằng nhau.

Đề bài

Cho tứ giác \(ABC\) biết \(a = 7cm,b = 23cm,\widehat C = {130^0}\). Tính cạnh \(c,\widehat A,\widehat B\).

Đề bài

Cho tứ giác ABC biết \(a = 14cm,b = 18cm,c = 20cm\). Tính \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\).

Đề bài

Giả sử chúng ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB = 30 m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta đo được các góc \(\widehat {CAD} = {43^0},\widehat {CBD} = {67^0}\). Hãy tính chiều cao CD của tháp.

Đề bài

Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau:  Xác định một điểm B có khoảng cách AB = 12m và đo được góc \(\widehat {ACB} = {37^0}\). Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 5 m.