Bài 3. Công thức lượng giác

Hãy chứng minh công thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb.

Từ các công thức cộng, hãy suy ra các công thức trên.

Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv thành tích.

Tính

a) \(\cos {225^0},\, \sin {240^0}, \, \cot( - {15^0}), \, \tan{75^0}\);

b) \(\sin \frac{7\pi}{12},\) \(\cos \left ( -\frac{\pi}{12} \right ),\) \(\tan\left ( \frac{13\pi}{12} \right )\)

Tính

a) \(\cos(α +  \frac{\pi}{3}),\) biết \(\sinα =  \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α <  \frac{\pi }{2}.\)

b) \(\tan(α -   \frac{\pi }{4}),\) biết \(\cosα = -\frac{1}{3}\) và \( \frac{\pi }{2} < α < π.\)

c) \(\cos(a + b), \, \, \sin(a - b)\) biết \(\sin a =  \frac{4}{5}\) \(0^0< a < 90^0,\) và \(\sin b =  \frac{2}{3},\) \(90^0< b < 180^0.\) 

Rút gọn các biểu thức

a) \(\sin(a + b) + \sin(\frac{\pi}{2}- a)\sin(-b)\).

b) \(cos(\frac{\pi }{4} + a)\cos( \frac{\pi}{4} - a) +  \frac{1 }{2} \sin^2a\)

c) \(\cos( \frac{\pi}{2} - a)\sin( \frac{\pi}{2} - b) - \sin(a - b)\)

Chứng minh các đẳng thức

a) \( \frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}\)

b) \(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a – \sin^2b \)\(= \cos^2b – \cos^2a\)

c) \(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b\)\( = \cos^2b – \sin^2a\)

Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết

a) \(\sin a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)

b) \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) và \({\pi  \over 2} < a < π\)

c) \( \sin a + \cos a = {1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4} < a < π.\)

Cho \(\sin 2a =  - {5 \over 9}\) và \({\pi  \over 2} < a < π\).

Tính \(\sin a\) và \(\cos a.\)

Biến đổi thành tích các biểu thức sau

a) \(1 - \sin x\);                    b) \(1 + \sin x\);

c) \(1 + 2\cos x\);                  d) \(1 - 2\sin x\)  

Rút gọn biểu thức \(A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \cos 3x + \cos5x}}\).