Bài 3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng
Bài Tập và lời giải
Bài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \,;\, - z;\,{1 \over {\overline z }};\,kz\,\left( {k \in \mathbb R^*} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\,z = r\left( {\cos \varphi + i\sin\varphi } \right)\,\left( {r > 0} \right);\)
\(b)\,z = 1 + \sqrt 3 i.\)
& a)\,\,1 - i\sqrt 3 ;\,\,1 + i;\,\,(1 - i\sqrt 3 )(1 + i);\,\,{{1 - i\sqrt 3 } \over {1 + i}}; \cr
& b)\,\,2i\left( {\sqrt 3 - i} \right); \cr
& c)\,\,{1 \over {2 + 2i}}; \cr
& d)\,\,z = \sin \varphi + i\cos \varphi \,(\varphi \in\mathbb R) \cr} \)
Bài 30. Gọi M, M’ là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i;\,z' = \left( {3 - \sqrt 3 } \right) + \left( {1 + 3\sqrt 3 } \right)i.\)
a) Tính \({{z'} \over z};\)
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của z’ với acgumen của z là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM'} \right)\). Tính số đo đó.
Bài 31. Cho các số phức \({\rm{w}}= {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 + i} \right)\) và \(\varepsilon = {1 \over 2}\left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)\)
a) Chứng minh rằng \({z_o} = \cos {\pi \over {12}} + i\sin {\pi \over {12}},\,{z_1} = {z_o}\varepsilon ,\,{z_2} = {z_o}{\varepsilon ^2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^3} - {\rm{w}} = 0;\)
b) Biểu diễn hình học các số phức \({z_o},\,{z_1},\,{z_2}\)
Bài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo các lũy thừa của \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi \)
Bài 33. Tính \({\left( {\sqrt 3 - i} \right)^6};\,\,\,{\left( {{i \over {1 + i}}} \right)^{2004}};\,\,\,{\left( {{{5 + 3i\sqrt 3 } \over {1 - 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\)
Bài 34. Cho số phức \({\rm{w}} = - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?
Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:
a) \(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)
b) \(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - {{3\pi } \over 4}.\)
Bài 36. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a) \(1 - i\tan {\pi \over 5}\)
\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i;\)
\(c){\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \left( {\varphi \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}\)
