Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Tính \({{\sin 0,01} \over {0,01}};\,\,{{\sin \,0,001} \over {0,001}}\) bằng máy tính bỏ túi.

Tính đạo hàm của hàm số: \(y = \sin ({\pi  \over 2} - x)\)

Tính đạo hàm của hàm số:

\(f(x) = {{\sin \,x} \over {\cos \,x}}\,(x \ne {\pi  \over 2} + k\pi ;\,k \in Z)\)

Tính đạo hàm của hàm số:

y = tan (\({\pi  \over 2}\) – x) với x ≠ kπ, k ∈ Z

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y =  \dfrac{x-1}{5x-2}\);          b) \(y =  \dfrac{2x+3}{7-3x}\);

c) \(y =  \dfrac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\);

d) \(y =  \dfrac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\).

Giải các bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

b) \(y'≥0\) với \(y =  \dfrac{x^{2}+3}{x+1}\);

c) \(y'>0\) với \(y =  \dfrac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,y = 5\sin x - 3\cos x\\b)\,\,y = \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\c)\,\,y = x\cot x\\d)\,\,y = \dfrac{{\sin x}}{x} + \dfrac{x}{{\sin x}}\\e)\,\,y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\f)\,\,y = \sin \sqrt {1 + {x^2}} \end{array}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\b)\,\,y = \left( {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {7x - 3} \right)\\c)\,\,y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \\d)\,y = {\tan ^2}x - {\cot}{x^2}\\e)\,\,y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}\end{array}\)

Tính \( \dfrac{f'(1)}{\varphi '(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +\sin \dfrac{\pi x}{2}\).

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\);

b) \(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \dfrac{2\pi +x}{2} \right )\)

Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:

a) \(f(x) = x^3+ x - \sqrt2\), \(g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\) ;

b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3\), \(g(x) = x^3+  \dfrac{x^{2}}{2} - \sqrt 3\).