Bài 3. Lôgarit

Bài 25. Điền thêm vế còn lại của đẳng thức và bổ sung điều kiện để đẳng thức đúng.

a) \({\log _a}\left( {xy} \right) = ...;\)            b) \(... = {\log _x}x - {\log _a}y;\)

c) \({\log _a}{x^\alpha} = ...;\)                d) \({a^{{{\log }^b}_a}} = ...,\)

Bài 26. Trong mỗi mệnh đề sau, hãy tìm điều kiện của a để có mệnh đề đúng:

a) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow 0 < x < y;\)                         

b) \({\log _a}x < {\log _a}y \Leftrightarrow x > y > 0;\)

Bài 27. Hãy tìm lôgarit của mỗi số sau theo cơ số 3:

3; 81; 1; \({1 \over 9};\root 3 \of 3 ;{1 \over {3\sqrt 3 }}\).

Bài 28. Tính \({\log _{{1 \over 5}}}125;{\log _{0,5}}{1 \over 2};{\log _{{1 \over 4}}}{1 \over {64}};{\log _{{1 \over 6}}}36.\)

Bài 29. Tính \({3^{{{\log }_3}18}};{3^{5{{\log }_3}2}};{\left( {{1 \over 8}} \right)^{{{\log }_2}5}};{\left( {{1 \over {32}}} \right)^{{{\log }_{0,5}}2}}\)

Bài 30. Tìm x, biết:

a) \({\log _5}x = 4;\)                    b) \({\log _2}\left( {5 - x} \right) = 3;\)

c) \({\log _3}\left( {x + 2} \right) = 3;\)         d) \({\log _{{1 \over {16}}}}\left( {0,5 + x} \right) =  - 1;\)

Bài 31. Biểu thị các lôgarit sau đây theo lôgarit thập phân (rồi cho kết quả bằng máy tính, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

\({\log _7}25;\;\;{\log _5}8;\;\;{\log _9}0,75;\;\;{\log _{0,75}}1,13.\)

Bài 32. Hãy tính:

a) \({\log _8}12 - {\log _8}15 + {\log _8}20;\) 

b) \({1 \over 2}{\log _7}36 - {\log _7}14 - 3{\log _7}\root 3 \of {21} ;\)

c) \({{{{\log }_5}36 - {{\log }_5}12} \over {{{\log }_5}9}};\) 

d) \({36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \log 2}} - {8^{{{\log }_2}3}}.\)

Bài 33. Hãy so sánh:

a) \({\log _3}4\) và \({\log _4}{1 \over 3};\)                  b) \({3^{{{\log }_6}1,1}}\) và \({7^{{{\log }_6}0,99}};\)

Bài 34. Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) \(\log 2 + \log 3\) với \(\log 5\);                   

b) \(\log 12 - \log 5\) với \(\log 7\);

c) \(3\log 2 + \log 3\) với \(2\log 5\);

d) \(1 + 2\log 3\) với \(\log 27\);

Bài 35. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính \({\log _a}x\) biết \({\log _a}b = 3,{\log _a}c =  - 2\):

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c ;\)           b) \(x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}.\)

Bài 36. Trong mỗi trường hợp sau, hãy tìm x:

a) \({\log _3}x = 4{\log _3}a + 7{\log _3}b\) 

b) \({\log _5}x = 2{\log _5}a - 3{\log _5}b\)

Bài 37. Hãy biểu diễn các lôgarit sau qua \(\alpha \) và \(\beta \):

a) \({\log _{\sqrt 3 }}50\), nếu \({\log _3}15 = \alpha ,{\log _3}10 = \beta \);

b) \({\log _4}1250 = \alpha \), nếu \({\log _2}5 = \alpha \).

Bài 38. Đơn giản các biểu thức:

a) \(\log {1 \over 8} + {1 \over 2}\log 4 + 4\log \sqrt 2 \);

b) \(\log {4 \over 9} + {1 \over 2}\log 36 + {3 \over 2}\log {9 \over 2}\);

c) \(\log 72 - 2\log {{27} \over {256}} + \log \sqrt {108} \);

d) \(\log {1 \over 8} - \log 0,375 + 2\log \sqrt {0,5625} \).

Bài 39. Tìm x, biết:

a) \({\log _x}27 = 3\);         b) \({\log _x}{1 \over 7} =  - 1\);       

c) \({\log _x}\sqrt 5  =  - 4\);

Bài 40. Số nguyên tố dạng \({M_p} = {2^p} - 1\), trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mec-sen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp).

Ơ-le phát hiện \({M_{31}}\) năm 1750.

Luy-ca (Lucas Edouard, 1842-1891, người Pháp). Phát hiện \({M_{127}}\) năm 1876.

\({M_{1398269}}\) được phát hiện năm 1996.

Hỏi rằng nếu viết ba số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?

(Dễ thấy rằng chữ số của \({2^p} - 1\) bằng chữ số của \({2^p}\)và để tính chữ số của \({M_{127}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30\) và để tính chữ số của \({M_{1398269}}\) có thể lấy \(\log 2 \approx 0,30103\) (xem ví dụ 8)

Bài 41. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao lâu người đó có được ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)