Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài Tập và lời giải
Với \(a\) và \(b\) là hai số bất kì, thực hiện phép tính \((a + b)(a + b).\)
Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời.
Tính \({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^2}\) (với \(a, b\) là các số tùy ý).
Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời.
Thực hiện phép tính \((a+b)(a-b)\) (với \(a,b\) là các số tùy ý).
Phát biểu hằng đẳng thức (3) bằng lời.
Ai đúng, ai sai?
Đức viết:
\({x^2}-10x + 25 = {\left( {x - 5} \right)^2}\)
Thọ viết:
\({x^2}-10x + 25 = {\left( {5 - x} \right)^2}\).
Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng.
Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đẳng thức rất đẹp !
Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào?
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;
a) \({x^2} + 2x + 1\);
b) \(9{x^2} + {y^2} + 6xy\);
c) \(25{a^2} + 4{b^2}-20ab\);
d) \(x^2-x+\dfrac{1}{4}\).
Chứng minh rằng:
\({\left( {10a + 5} \right)^2} = 100a.\left( {a + 1} \right) + 25.\)
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số \(5.\)
Áp dụng để tính: \({25^2};{35^2};{65^2};{75^2}.\)
Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) \({x^2} + 6xy + \ldots = {\left( { \ldots + 3y} \right)^2}\);
b) \(... - 10xy + 25{y^2} = {\left( { \ldots - \ldots } \right)^2}\);
Hãy nêu một số đề bài tương tự.
\(4 + 4y + \ldots = {\left( { \ldots + y} \right)^2}\)
Có: \({2^2} + 2.2.y + {y^2} = {\left( {2 + y} \right)^2}\)
\( \Rightarrow 4 + 4y + {y^2} = {\left( {2 + y} \right)^2}\)
Đố: Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng \(a + b\), bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng \(a - b\) (cho \(a > b\)). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?
Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:
\({x^2} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {x + 2y} \right)^2}\)
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) \(9{x^2}-6x + 1\);
b) \({\left( {2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right)^2} + 2.\left( {2x + 3y} \right) + 1\).
Hãy nêu một đề bài tương tự.
\(1 + 2\left( {x + 2y} \right) + {\left( {x + 2y} \right)^2}\)
\(4{x^2}-12x + 9\)…
Tính nhanh:
a) \({101^2};\) b) \({199^2};\) c) \(47.53\)
Chứng minh rằng:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 4ab;\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 4ab.\)
Áp dụng:
a) Tính \({\left( {a - b} \right)^2}\), biết \(a + b = 7\) và \(a . b = 12.\)
b) Tính \({\left( {a + b} \right)^2}\), biết \(a - b = 20\) và \(a . b = 3.\)
Tính giá trị của biểu thức \(49{x^2}-70x + 25\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(x = 5\); b) \(x = \dfrac{1}{7}\).
Tính:
a) \({\left( {a + b + c} \right)^2}\);
b) \({\left( {a + b - c} \right)^2}\);
c) \({\left( {a - b - c} \right)^2}\)
Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = 4ab.\)
Bài 2. Rút gọn biểu thức: \({\left( {a + 2} \right)^2} - \left( {a + 2} \right)\left( {a - 2} \right).\)
Bài 3. Tìm x, biết: \({\left( {2x + 3} \right)^2} - 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 49.\)
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức:
\(P = {\left( {x + 3} \right)^2} + (x - 3)(x + 3) - 2(x + 2)(x - 4)\) , với \(x = - {1 \over 2}.\)
Bài 1. Rút gọn biểu thức: \(A = \left( {4{x^2} + {y^2}} \right)\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right).\)
Bài 2. Chứng minh rằng:
\({\left( {7x + 1} \right)^2} - {\left( {x + 7} \right)^2} = 48\left( {{x^2} - 1} \right)\)
Bài 3. Tìm x, biết: \(16{x^2} - {\left( {4x - 5} \right)^2} = 15.\)
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = {x^2} + 2x + 3.\)
Bài 1. Chứng minh rằng giá trị biểu thức \(A = {\left( {2m - 5} \right)^2} - {\left( {2m + 5} \right)^2} + 40m\) không phụ thuộc vào m.
Bài 2. Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ.
Bài 3. Rút gọn biểu thức: \(P = {\left( {3x + 4} \right)^2} - 10x - \left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)\)
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = {x^2} - 4x + 5.\)
Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} = - 4xy.\)
Bài 2. Chứng minh rằng \({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2}\) luôn chia hết cho 9, với mọi giá trị nguyên của n.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = - {x^2} + 6x + 1.\)
Bài 4. Chứng minh rằng nếu \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax + by} \right)^2}\)thì \(ay - bx = 0.\)
Bài 1. Chứng minh rằng nếu : \(a + b + c = 2p\) thì \({b^2} + {c^2} + 2bc - {a^2} = 4p\left( {p - a} \right).\)
Bài 2. Chứng minh rằng nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\) thì \({\rm{a}} = b = c\) .
Bài 3. Tìm x, y biết: \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 5 = 0\) .
