Bài 3: Phương trình đường thẳng

Đề bài

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = (3;3;1)\);

b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\):  2x – y + z + 9 = 0

c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Đề bài

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3}\)  và \(d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\)  và  \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\)

c)  \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - t}\\{y = 3t}\\{z =  - 1 - 2t}\end{array}} \right.\)  và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t'}\end{array}} \right.\)

Đề bài

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}\\{y = at}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t'}\\{y = a + 4t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)

Đề bài

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a)  \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.\)   và  \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0

b)  d:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)  và  \((\alpha )\): x + z + 5 = 0

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.\)   và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0

Đề bài

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}\)

Đề bài

Cho đường thẳng   \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng  \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\)

Đề bài

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau:

a) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)

b) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z =  - 3t'}\end{array}} \right.\)

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\)

a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\);

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\).

Đề bài

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta \);

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta \).

Đề bài

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 12 = 0

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặ phẳng \((\alpha )\);

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng \((\alpha )\).

Đề bài

Cho hai đường thẳng: \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t'}\\{y = 3 - 2t'}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\).

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Đề bài

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\), hãy viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \)  đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\).

Đề bài

Cho hai đường thẳng d₁: \(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 5}}{4}\) và d₂: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.\)

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng \((\alpha )\).

b) Viết phương trình của \((\alpha )\).