Bài 3. Phương trình đường thẳng

Bài 24. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\)) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;5} \right)\);

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0;0; - 3} \right)\);

e) Đường thẳng đi qua \(N\left( {3;2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\);

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(Q\left( {1;2;4} \right)\).

Bài 25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình

\(\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 3t \hfill \cr z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\)

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình : \({{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 1} = {{z + 2} \over 3}\)

Bài 26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\,\,{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {{z - 3} \over 1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Bài 28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:{{x - 1} \over 2} = y - 7 = {{z - 3} \over 4}\,;\,d':{{x - 3} \over 6} = {{y + 1} \over { - 2}} = {{z + 2} \over 1}\)b)

\(d:\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = - 3 - 4t \hfill \cr z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z = 0,\,\,\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).

Bài 29. Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 1;1} \right)\) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 3 - t \hfill \cr} \right.\,\,;\,\,d':\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 2 + t \hfill \cr} \right.\)

Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = {- 2 + 4t} \hfill \cr z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\)\( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\)\( {d_3}:\left\{ \matrix{ x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr z = {t'} \hfill \cr} \right.\)

Bài 31. Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \matrix{ x = 8 + t \hfill \cr y = 5 + 2t \hfill \cr z = 8 - t \hfill \cr} \right.\) và \({d_2}:{{3 - x} \over 7} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 1} \over 3}\).

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với \({d_1}\) và \({d_2}\).
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Bài 32. Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình:

\(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\,\,;\,\,\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\).
a) Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha  \right)\).
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha  \right)\).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha  \right)\).

Bài 35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

a)

\(d:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.\) và

\(d':\left\{ \matrix{ x = {2 - 3t'} \hfill \cr y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr z = 3 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\) và

\(d':\left\{ \matrix{ x ={ - t'} \hfill \cr y = {2 + 3t'} \hfill \cr z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\)