Bài 3: Tích của vec tơ với một số

Đề bài

Tìm giá trị của \(m\) sao cho \(\overrightarrow a  = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \);

b) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow { - b} \) và \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \);

c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\);

d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\);

e) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0 \);

g) \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \);

h) \(\overrightarrow a  = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \).

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Nếu \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a  = m\overrightarrow b \);

b) \(m\overrightarrow a  = m\overrightarrow b \) và \(m \ne 0\) thì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \);

c) Nếu \(m\overrightarrow a  = n\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a  \ne 0\) thì \(m = n\).

Đề bài

Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Đề bài

Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:

a) \(2\overrightarrow a  + \overrightarrow b \);

b) \(\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b \);

c) \( - \overrightarrow a  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \).

Đề bài

Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\) có cạnh \(a\).

a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \).

b) Tính độ dài của vec tơ \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) theo \(a\).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \)(\(M\) là trung điểm của \(BC\)). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Dựng \(\overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA'}  = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC'}  = \overrightarrow {CA} \).

a) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm của \(B'C'\).

b) Chứng minh các đường thẳng \(AA',BB'\) và \(CC'\) đồng quy.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Điểm \(I\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(CI = \dfrac{1}{4}CA\), \(J\) là điểm mà \(\overrightarrow {BJ}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \).

b) Chứng minh \(B, I, J\) thẳng hàng.

c) Hãy dựng điểm \(J\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Các điểm \(M, N , P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, CD\) và \(DA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ANP\) và \(CMQ\) có cùng trọng tâm.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\).

a) Tìm điểm \(K\) sao cho \(\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow {CB} \).

b) Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \).

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\), \(H\) là trực tâm của tam giác, \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(O\).

a) Chứng minh tứ giác \(HCDB\) là hình bình hành.

b) Chứng minh: \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Chứng minh \(\overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ đó có kết luận gì về ba điểm \(O, H, G\)?