Bài 3. Tích của vectơ với một số

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) . Xác định độ dài và hướng của vectơ  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a\)

Tìm vectơ đối của các vectơ: \(k\overrightarrow a ;\,\,3\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b \)

Hãy sử dụng mục 5 của bài 2 để chứng minh các khẳng định trên.

Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{AC}\).

Cho \(AK\) và \(BM\) là hai trung tuyến của tam giác \(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ sau \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AK} ,\overrightarrow v  = \overrightarrow {BM} .\)

Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} \). Hãy phân tích vectơ  \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow v  = \overrightarrow {AC}. \)

Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\)  và \(D\) là trung điểm của đạn \(AM\). Chứng minh rằng:

a) \(2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

b) \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý.

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(CD\) của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng:

\(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)

Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Tìm điểm \(K\) sao cho:             \[3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0}.\]

Cho tam giác \(ABC\). Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0. \)

Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Cho tam giác đều \(ABC\) có trọng tâm \(O\) và \(M\) là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D,E,F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(M\) đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng:

          \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)