Tập xác định: \(D=R.\)
Có: \(y'=\dfrac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1-{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\) \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Bảng biến thiên:
Ta có: \(y' > 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\) và
\(y' < 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right).\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Chú ý: cách tính giới hạn của hàm số để điền vào BBT: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = 0\)
