Gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC'\).
Ta có \(AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot BC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại B.
Dễ thấy \(BC'\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(a \Rightarrow BC' = a\sqrt 2 .\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC'\) có:
\(\dfrac{1}{BK^{2}}=\dfrac{1}{BA^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{(a\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{3}{2a^{2}}\)\( \Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\)
Ta có:
\(\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC' \)\(= \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A\)
\((c.g.c)\)
Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác bày bằng nhau, chứng tỏ khoảng cách từ \(B, C, D, A', B', D'\) tới \(AC'\) đều bằng \( \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\).
