a) Ta có:
\(f\left( x \right)= ( - 2{x^2} + 3x-1)\left( {1 - 3x} \right)\) \( =6{x^3}-11{x^2} +6x-1.\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F\left( x \right) = \int {\left( {6{x^3} - 11{x^2} + 6x - 1} \right)dx} \\= \dfrac{3}{2}{x^4} - \dfrac{{11}}{3}{x^3} + 3{x^2} - x + C.\)
b) Ta có:
\(\displaystyle f\left( x \right) = \sin 4x.co{s^2}2x = \sin 4x.{{1 + \cos 4x} \over 2}\)\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + \sin 4x.\cos 4x)\)
\(\displaystyle = {1 \over 2}(\sin 4x + {1 \over 2}\sin 8x) \)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là:
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\sin 4x + \dfrac{1}{2}\sin 8x} \right)dx} \\\;\;\;\;\;\;\; = - \dfrac{1}{8}\cos 4x - \dfrac{1}{{32}}\cos 8x + C.\end{array}\)
c) Ta có: \(\displaystyle f(x) = {1 \over {1 - {x^2}}} = {1 \over 2}({1 \over {1 - x}} + {1 \over {1 + x}})\)
Vậy nguyên hàm của f(x) là:
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\int {\left( {\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}}} \right)} dx\\\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{2}\left( { - \ln \left| {1 - x} \right| + \ln \left| {1 + x} \right| + C} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{2}ln\left| {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C.\end{array}\)
d) Ta có: \(f(x) ={e^{3x}}-3{e^{2x}} + 3{e^x}-1\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x)\) là
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\left( {{e^{3x}} - 3{e^{2x}} + 3{e^x} - 1} \right)dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{1}{3}{e^{3x}} - \dfrac{3}{2}{e^{2x}} + 3{e^x} - x + C.\end{array}\)
