Bài 3 trang 130 SGK Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho \(8\).

Gọi hai số lẻ bất kì là \(2a + 1\) và \(2b + 1\) (\(a, b ∈\mathbb Z\))

Hiệu bình phương của hai số lẻ đó bằng :

\({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} \)

\(= \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b{\rm{ }} + 1} \right)\)

\( = \left( {4{a^2} + {\rm{ }}4a} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {4{b^2} + {\rm{ }}4b} \right){\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}4a\left( {a{\rm{ }} + 1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}4b\left( {b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\)    

Vì tích của hai số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho \(2\) nên \(a(a+1)\) và \(b(b+1)\) đều chia hết cho \(2\).

Do đó \(4a(a + 1)\) và \(4b(b + 1)\) chia hết cho \(8\).

Suy ra \(4a(a + 1) – 4b(b + 1)\) chia hết cho \(8\).

Vậy \({\left( {2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}-{\rm{ }}{\left( {2b{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\) chia hết cho \(8\).