Bài 3 trang 131 SGK Toán 8 tập 2

Tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD, CE\) cắt nhau tại \(H\). Đường vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau ở \(K\). Tam giác \(ABC\) phải có điều kiện gì thì tứ giác \(BHCK\) là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật?

Ta có: \(CE ⊥ AB\) (gt)

          \(KB ⊥ AB\) (gt)

Suy ra \(BK // CH\)        (1)

Tương tự \(BH // KC\) (2)

Từ (1) và (2) ta được :

Tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(BC\) và \(HK\).

a) \(BHCK\) là hình thoi khi và chỉ khi \(HM ⊥ BC\) (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Vì \(HA ⊥ BC\) nên \(HM ⊥ BC  ⇔A, H, M\) thẳng hàng.

Tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\)

b) \(BHCK\) là hình chữ nhật  \(⇔ BH ⊥ HC.\)

Ta lại có \(BE ⊥ HC, CD ⊥ BH\) nên \(BH ⊥ HC \) \(⇔ H, D, E\)  trùng nhau. Khi đó \(H, D, E\) cũng trùng với \(A.\) Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác vuông ở \(A.\)