a) Phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow Δ’ = 4m^2– 9(m-1) ^2\)\(= -5m^2+ 18m – 9 ≥ 0\)
\(\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3\)
Phương trình có nghiệm nếu \(m \in \left[ {{3 \over 5}; \, 3} \right]\)
b) Với \(m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]\) phương trình có các nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn
\(x_1+x_2= 4m\) (1) và \(x_1.x_2= 9(m-1)^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\({x_1}.{x_2} = 9{({{{x_1} + {x_2}} \over 4} - 1)^2}\)
\(\Leftrightarrow 9{({x_1} + {x_2} - 4)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0\)
Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số \(m.\)
c) Không mất tính tổng quát, ta giả sử phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: \(x_2 > x_1.\)
Khi đó ta có: \(x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m \)\(⇒ x_2= 2(m+1).\)
Thay biểu thức của \(x_2\) vào phương trình thì được:
\(4(m+1)^2 – 8m(m+1) + 9(m-1)^2\)\(= 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {m_{_1}} = 1;{m_2} = {{13} \over 5} \cr} \)
Kết luận: Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = {{13} \over 5}\) thì hiệu của \(2\) nghiệm bằng \(4\).
