Với số thực \(x ≠ 0 \) và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:
\({(1 - 3x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3x)}^k} }\)
\(=\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3)}^k}.{x^k}} \)
Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \(C_n^2{.1^{n - 2}}.{\left( { - 3} \right)^2}\). Theo giả thiết, ta có:
\(\begin{array}{l}C_n^2{.1^{n - 2}}.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
