Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) \(y={x^2},y =x + 2\);   

b) \(y = |lnx|, y = 1\);

c) \(y = {\left( x-6 \right)}^2,y = 6x-{x^2}\) 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {x^2} + 1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm \(M(2;5)\) và trục \(Oy\).

Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục \(Ox\):

a) \(y = 1 - x^2\), \(y = 0\);

b) \(y = \cos x, y = 0, x = 0, x = π\);

c) \(y = \tan x, y = 0, x = 0\), \(x=\dfrac{\pi }{4}\);

Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt  \(\widehat {POM} = \alpha \)

và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha  \le {\pi  \over 3},R > 0} \right)\)

Gọi   là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh \(Ox\) (H.63).

a) Tính thể tích của  theo \(α\) và \(R\).      

b) Tìm \(α\) sao cho thể tích  là lớn nhất.