Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Bài Tập và lời giải

Bài 3.31 trang 178 SBT giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(\displaystyle  y = 2x - {x^2},x + y = 2\);

b) \(\displaystyle  y = {x^3} - 12x,y = {x^2}\);

c) \(\displaystyle  x + y = 1;x + y =  - 1;\) \(\displaystyle  x - y = 1;x - y =  - 1\);

d) \(\displaystyle  y = \frac{1}{{1 + {x^2}}},y = \frac{1}{2}\)

e) \(\displaystyle  y = {x^3} - 1\) và tiếp tuyến với \(\displaystyle  y = {x^3} - 1\) tại điểm \(\displaystyle  \left( { - 1; - 2} \right)\).


Xem lời giải

Bài 3.32 trang 178 SBT giải tích 12

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi: \(\displaystyle  y = x,y = 0\), và \(\displaystyle  x = 1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục \(\displaystyle  Ox\) là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi \(\displaystyle  {x^2} + {y^2} = 1\). Mỗi thiết diện vuông góc với trục \(\displaystyle  Ox\) là một hình vuông.

Xem lời giải

Bài 3.33 trang 178 SBT giải tích 12

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) \(\displaystyle  y = 2 - {x^2},y = 1\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\).

b) \(\displaystyle  y = 2x - {x^2},y = x\), quanh trục \(\displaystyle  Ox\).

c) \(\displaystyle  y = {(2x + 1)^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục \(\displaystyle  Oy\).


Xem lời giải

Bài 3.34 trang 178 SBT giải tích 12

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục \(\displaystyle  Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = \frac{1}{x}\), \(\displaystyle  y = 0,x = 1\) và \(\displaystyle  x = a\left( {a > 1} \right)\). Gọi thể tích đó là \(\displaystyle  V\left( a \right)\). Xác định thể tích của vật thể khi \(\displaystyle  a \to  + \infty \) (tức là \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{a \to  + \infty } V(a)\)).

Xem lời giải

Bài 3.35 trang 178 SBT giải tích 12

Một hình phẳng được giới hạn bởi \(\displaystyle  y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1\). Ta chia đoạn \(\displaystyle  \left[ {0;1} \right]\) thành \(\displaystyle  n\) phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi \(\displaystyle  n\) hình chữ nhật con như dưới).

a) Tính diện tích \(\displaystyle  {S_n}\) của hình bậc thang (tổng diện tích của \(\displaystyle  n\) hình chữ nhật con).

b) Tìm \(\displaystyle  \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}\) và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Xem lời giải

Bài 3.36 trang 179 SBT giải tích 12

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x\)  với \(\displaystyle  \pi  \le x \le 2\pi {\rm{\} }}\)

b) \(\displaystyle  \;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0\) với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0\)  với \(\displaystyle  0 \le x \le \pi {\rm{\} }}\);

c) \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}\) và \(\displaystyle  {\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}\)


Xem lời giải

Bài 3.37 trang 179 SBT giải tích 12

Cho hình phẳng \(\displaystyle  R\) giới hạn bởi các đường sau đây: \(\displaystyle  {y_1} = {f_1}\left( x \right).{y_2} = {f_2}\left( x \right)\) (\(\displaystyle  {f_1},{f_2}\) là các hàm số liên tục trên đoạn \(\displaystyle  \left[ {a;b} \right]\)), \(\displaystyle  x = a\) và \(\displaystyle  x = b\). Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình \(\displaystyle  R\).

A. \(\displaystyle  \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \)

B. \(\displaystyle  \int\limits_a^b {\left| {{f_2}\left( x \right) - {f_1}\left( x \right)} \right|dx} \)

C. \(\displaystyle  \left| {\int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right|dx} } \right|\)

D. \(\displaystyle  \left| {\int\limits_a^b {\left[ {{f_1}\left( x \right) - {f_2}\left( x \right)} \right]dx} } \right|\)

Xem lời giải

Bài 3.38 trang 179 SBT giải tích 12

Diện tích hình phẳng \(\displaystyle  P\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  {y_1} = x,{y_2} = 2x,{y_3} = 2 - x\) bằng:

A. \(\displaystyle  1\)                       B. \(\displaystyle  \frac{2}{3}\)

C. \(\displaystyle  2\)                       D. \(\displaystyle  \frac{1}{3}\)

Xem lời giải

Bài 3.39 trang 180 SBT giải tích 12

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng

A. \(\displaystyle  0\)                   B. \(\displaystyle  4\)

C. \(\displaystyle  8\)                   D. \(\displaystyle   - 8\)

Xem lời giải

Bài 3.40 trang 180 SBT giải tích 12

Cho hình phẳng \(\displaystyle  H\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = f\left( x \right)\), \(\displaystyle  y = 0\), \(\displaystyle  x = b\) và \(\displaystyle  x = a\) (trong đó hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\displaystyle  \left[ {b;a} \right]\)). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình \(\displaystyle  H\) quanh trục \(\displaystyle  Ox\) được cho bởi công thức:

A. \(\displaystyle  \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)   

B. \(\displaystyle  \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

C. \(\displaystyle  \pi \int\limits_b^a {{f^2}\left( x \right)dx} \)   

D. \(\displaystyle  \int\limits_a^b {{{\left[ {\pi f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \)

Xem lời giải

Bài 3.41 trang 180 SBT giải tích 12

Quay hình phẳng \(\displaystyle  Q\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  {y_1} = \sin x\) và \(\displaystyle  {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục \(\displaystyle  Ox\), ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng

A. \(\displaystyle  \frac{1}{6}\)                    B. \(\displaystyle  \frac{\pi }{6}\)

C. \(\displaystyle  8\)                      D. \(\displaystyle  \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)

Xem lời giải

Bài 3.42 trang 180 SBT giải tích 12

Quay hình phẳng \(\displaystyle  G\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle  y = {x^3},y = 1,x = 0\) xung quanh trục \(\displaystyle  Oy\). Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng:

A. \(\displaystyle  \pi \)                   B. \(\displaystyle  \frac{5}{3}\pi \)

C. \(\displaystyle  \frac{3}{5}\pi \)                D. \(\displaystyle  \frac{3}{5}\)

Xem lời giải

Quote Of The Day

“Two things are infinite: the universe and human stupidity; and I'm not sure about the universe.”