Gọi \(h\) là đường cao của tam giác đều, \(r\) là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó.
Trong \(\Delta AHC\) có \(\widehat {AHC} = 90^o; \widehat C = 60^o\).
\(\displaystyle AH = AC.\sin C = a.\sin {60^{^0}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
\(\Delta ABC\) đều, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến, trung trực nên ta có: \(\displaystyle r = {1 \over 3}AH = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)
Thể tích hình nón là:
\(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}\pi .B{H^2}.AH \)\(\,\displaystyle = {1 \over 3}\pi {\left( {{a \over 2}} \right)^2}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\) (đơn vị thể tích)
Thể tích hình cầu là:
\(\displaystyle {V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi .{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^3} \)\(\,\displaystyle = {4 \over 3}\pi .{{3{a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\) (đơn vị thể tích).
Phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu là:
\(V=V_1-V_2=\displaystyle {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} - {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}} \)\(\,\displaystyle = {{9\pi {a^3}\sqrt 3 - 4\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{5\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}}\) (đơn vị thể tích)
