a) So sánh các cạnh của \(∆BGG’\) với các đường trung tuyến của \(∆ABC.\)
Gọi \(M, N, E\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA, AB.\)
\(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\)
\( \Rightarrow GA =\dfrac{2}{3}AM\)
Mà \(GA = GG’\) (\(G\) là trung điểm của \(AG’\))
\( \Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3} AM\)
- Vì \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\) \( \Rightarrow GB = \dfrac{2}{3} BN\)
- Ta có:
\(GM =\dfrac{1}{2} AG\) (do \(G\) là trọng tâm) và \(AG = GG'\) (giả thiết)
\( \Rightarrow GM = \dfrac{1}{2} GG'\)
Xét \(∆GMC\) và \(∆G’MB\) có:
+) \(GM = MG'\) (giả thiết)
+) \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
+) \( {\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}} \) (hai góc đối đỉnh)
Vậy \( ∆GMC=∆G’MB\) (c.g.c)
\( \Rightarrow BG' = CG\) (Hai cạnh tương ứng)
Mà \(CG = \dfrac{2}{3} CE\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))
\( \Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3} CE\)
Vậy mỗi cạnh của \(∆BGG’\) bằng \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến của \(∆ABC.\)
b) So sánh các đường trung tuyến của \(∆BGG’\) với các cạnh của \(∆ABC.\)
- Ta có: \(BM\) là đường trung tuyến \(∆BGG’\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = \dfrac{1}{2} BC\).
Vì \(IG = \dfrac{1}{2} BG\) (Do \(I\) là trung điểm \(BG\))
\(GN = \dfrac{1}{2}BG\) (\(G\) là trọng tâm)
\( \Rightarrow IG = GN\)
Xét \(∆IGG’\) và \(∆NGA\) có:
+) \(IG = GN\) (chứng minh trên)
+) \(GG' = GA\) (giả thiết)
+) \(\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}\) (hai góc đối đỉnh)
Vậy \(∆IGG’ = ∆NGA\) (c.g.c)
\( \Rightarrow IG' = AN\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow IG' = \dfrac{{AC}}{2}\)
- Gọi \(K\) là trung điểm \(BG'\) \( \Rightarrow GK\) là trung tuyến của \(∆BGG’\)
Vì \(GE = \dfrac{1}{2} GC\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))
\(BG' = GC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow GE =\dfrac{1}{2} BG'\)
Mà \(K\) là trung điểm \(BG’\) \( \Rightarrow KG’ = EG\)
Vì \(∆GMC = ∆G’MB\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow\) \(\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow CE // BG’\) \( \Rightarrow\) \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (đồng vị)
Xét \(∆AGE\) và \(∆GG’K\) có:
+) \(EG = KG’\) (chứng minh trên)
+) \(AG = GG'\) (giả thiết)
+) \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (chứng minh trên)
Vậy \(∆AGE = ∆GG’K\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AE = GK\)
Mà \(AE = \dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow GK = \dfrac{1}{2} AB\)
Vậy mỗi đường trung tuyến của \(∆BGG’\) bằng một nửa cạnh của tam giác \(ABC\) song song với nó.
