\(a)\) Trong đường tròn \((B)\) ta có:
\(\widehat {AMC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ABC}\) (hệ quả góc nội tiếp) mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)
\( \Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ \)
\(\widehat {AME} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((B)\))
\( \Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ \)
\(\widehat {TMN} = \widehat {AMT} - \widehat {AMC}\)\( = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
Trong đường tròn \((D)\) ta có:
\(\widehat {ANC} =\displaystyle{1 \over 2}\widehat {ADC}\) (Hệ quả góc nội tiếp) mà \(\widehat {ADC} = 60^\circ \) (vì \(∆ADC\) đều) \( \Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ \)
\(\widehat {ANF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((D)\))
\( \Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ\)
\( \Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ - \widehat {ANC}\)\( = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) hay \(\widehat {MNT} = 60^\circ \)
Vậy \(∆TMN\) đều.
\(b)\) \(\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow AM = AN\) nên \(A\) nằm trên đường trung trực \(MN\) \(∆TMN\) đều
\( \Rightarrow TM = TN\) nên \(T\) nằm trên đường trung trực \(MN\)
Suy ra \(AT\) là đường trung trực của \(MN\) nên \(AT ⊥ MN\)
\(∆AHM\) có \(\widehat {AHM} = 90^\circ \)
\(AM =\displaystyle{{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }}\)\( =\displaystyle {{AH} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AH\) \( (1)\)
\(TH ⊥ MN\) nên \(TH\) là đường phân giác của \(\widehat T\) nên \(\widehat {MTA} = 30^\circ \)
\(∆AMT\) có \(\widehat {AMT} = 90^\circ \)
\(AT = \displaystyle{{AT} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {\displaystyle{AM} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AM\)\(\; (2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AT = 4AH\)
