a) Đặt vế trái bằng \({S_n}.\) Kiểm tra với \(n = 1,\) hệ thức đúng.
Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2}\) với \(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}.\)
Thật vậy
\({S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 1\) \( = \dfrac{{k\left( {3k + 1} \right)}}{2} + 3k + 2\) \( = \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}\) \( = \dfrac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}\left( {dpcm} \right)\)
b) Đặt \({S_n} = 3 + 9 + 27 + ... + {3^n}\).
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 3 = \dfrac{1}{2}\left( {{3^2} - 3} \right)\) nên đúng.
Giả sử có \({S_k} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right)\), \(k \ge 1\). Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\).
Thật vậy:
\({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 1}} - 3} \right) + {3^{k + 1}}\) \( = \dfrac{3}{2}{.3^{k + 1}} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{k + 2}} - 3} \right)\).
Vậy ta có đpcm.
