Bài 3.15 trang 139 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) trong đó \(AB \bot AC,AB \bot B{\rm{D}}\). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(AB\) và \(PQ\) vuông góc với nhau.

\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr 
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {B{\rm{D}}} + \overrightarrow {DQ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:

\(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {B{\rm{D}}} \) 

Suy ra \(2\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {B{\rm{D}}} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

Hay \(\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB}  = 0\), tức là \(PQ \bot AB\).