\(a)\) Trong đường tròn \((O)\) ta có:
\(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\))
\(b)\) \(∆ACB\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên \(∆ABC\) vuông tại \(C\)
\( \Rightarrow CO = OA = \displaystyle{1 \over 2}AB\) (tính chất tam giác vuông)
Mà \(AC = AO\) (bán kính đường tròn \((A)\))
Suy ra: \(AC = AO = OC\)
\( \Rightarrow \)\( ∆ACO\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^o}\)
Ta có: \(∆ADB\) nội tiếp trong đường tròn đường kính \(AB\) nên \(∆ADB\) vuông tại \(D\)
\( \Rightarrow DO = OB = OA = \displaystyle {1 \over 2}AB\) (tính chất tam giác vuông)
\(BD = BO\) (bán kính đường tròn \((B)\))
Suy ra: \(BO = OD = BD\)
\( \Rightarrow \) \(∆BOD\) đều
\( \Rightarrow \widehat {ODB} = \widehat {BOD} = {60^o}\)
Mà \(\widehat {AOC} + \widehat {COD} + \widehat {BOD} = {180^o}\)
Suy ra: \(\widehat {COD} = {60^o}\)
Kết hợp với: \(OC = OD\) (vì cùng bằng \(\displaystyle {1 \over 2}AB\))
Suy ra: \(∆COD\) đều
\( \Rightarrow \widehat {ODC} = {60^o} \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {BOD}\)
\( \Rightarrow \) \(CD // AB\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
\(c)\) Ta có: \(∆AOC\) đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow OA = AC = OC\)
\(∆OCD\) đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow OC = OD = CD\)
Suy ra: \(AC = AO = OD = DC\)
Vậy: tứ giác \(AODC\) là hình thoi. Suy ra \( AD \bot OC.\)
\(d)\) \(∆BOD\) đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {OBD} = {60^o}\) hay \(\widehat {ABD} = {60^o}\)
Vì \(∆ADB\) vuông tại \(D\)
\( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABD} = {90^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {DAB} = {90^o} - \widehat {ABD} \)\(= {90^o} - {60^o} = {30^o}\)
Vậy \(\widehat {DAO} = {30^o}\)
\(e)\) \(OE // AD\;\; (gt)\)
\( \Rightarrow \widehat {EOB} = \widehat {DAO} = {30^o}\) (hai góc đồng vị)
\( sđ \overparen{BE}\) \( = \widehat {EOB} = {30^0}\)
\( sđ \overparen{CD}\) \( = \widehat {COD}\)
mà \(\widehat {COD} = {60^o}\) (chứng minh trên)
\( sđ \overparen{CD} = 60^o\)
Suy ra: Số đo cung \(\overparen{CD}\) gấp đôi số đo cung \(\overparen{BE}\).
