a) \(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} \)\(\displaystyle + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{x\left( {c - b} \right) + x\left( {a - c} \right) + x\left( {b - a} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} \) \(= 2 \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 0x = 2\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) \)
Do \(a,\, b,\, c\) đôi một khác nhau nên \(2\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\ne 0 \).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) \(\displaystyle{x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {{x\left( {a - d} \right) - 2x\left( {a - c} \right) + 3x\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)\(\displaystyle = {{4a\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right) \)\(\displaystyle = 4a\left( {a - b} \right) \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \)
Theo giả thiết, \(b + d = 2c\) nên \(2a – 3b + 2c – d = 2a – 2b = 2 (a – b )\). Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(\displaystyle2\left( {a - b} \right)x = 4a\left( {a - b} \right)\)
Để ý rằng \(a – b ≠ 0\), ta thấy ngay phương trình cuối có nghiệm duy nhất \(x = 2a\).
Vậy phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất \(x =2a.\)
