Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\).
Mặt khác, \(BE\) và \(DF\) lần lượt là phân giác của các góc \(B\) và \(D\), suy ra \(\widehat {ADF} = \widehat {CBE} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ADC}\)
Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (cặp góc so le trong)
Xét \(∆ ADF \) và \( ∆ CBE\) có:
\(\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\) (cmt)
\(AD = CB = b\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)
\(\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (cmt)
\(⇒ ∆ ADF = ∆ CBE\) (g.c.g)
\(⇒ AF = CE\) (hai cạnh tương ứng).
Đặt \(AF = CE = x\)
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào tam giác \(ABC\) phân giác \(BE\), ta có:
\(\eqalign{ & {{AB} \over {BC}} = {{AE} \over {CE}} = {{AF + FE} \over {CE}} \cr & \Rightarrow {a \over b} = {{x + m} \over x} \cr& \Rightarrow ax = b\left( {x + m} \right) \cr&\Rightarrow ax = bx + bm \cr&\Rightarrow ax - bx = bm \cr&\Rightarrow x\left( {a - b} \right) = bm\cr&\Rightarrow x = {{mb} \over {a - b}} \cr} \)
Ta có \( AC =AF+FE+EC= 2x + m \)\(\,\displaystyle= {{2mb} \over {a - b}} + m = {{m\left( {a + b} \right)} \over {a - b}}\)
Thay số \(a = 12,5cm, \; b = 7,25cm,\)\(\;m = 3,45cm\) ta được:
\(\displaystyle AC = {{3,45\left( {12,5 + 7,25} \right)} \over {12,5 - 7,25}} \approx 12,98\) \( (cm).\)
