a) Đặt vế trái bằng \({S_n}.\)
+) Với \(n = 1,\) vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \(\dfrac{{1\left( {4.1 - 1} \right)}}{3} = 1.\)
+) Giả sử đã có \({S_k} = \dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3}\) với\(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}.\)
Thật vậy, ta có
\({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left[ {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right]^2}\) \( = {S_k} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{k\left( {4{k^2} - 1} \right)}}{3} + {\left( {2k + 1} \right)^2}\) \( = \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k - 1} \right) + 3\left( {2k + 1} \right)} \right]}}{3}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 5k + 3} \right)}}{3}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{3}\) \( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\)
b) Đặt vế trái bằng \({A_n}.\)
+) Dễ thấy với \(n = 1,\) hệ thức đúng.
+) Giả sử đã có \({A_k} = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4},\left( {k \ge 1} \right).\)
Ta có \({A_{k + 1}} = {A_k} + {\left( {k + 1} \right)^3}\) \( = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\) \({\rm{ = }}\dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4}\) \( = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
