a) \(\dfrac{1}{x} + 2 = \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\) (1)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
(1) \(⇔\left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right) - \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow\left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( {1 - {x^2} - 1} \right)= 0\)
\(⇔ \left( {\dfrac{1}{x} + 2} \right)\left( { - {x^2}} \right)= 0\)
\(⇔\left[ {\matrix{{\dfrac{1}{x} + 2 = 0} \cr { - {x^2} = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\dfrac{1}{x}= - 2} \cr {{x^2} = 0} \cr} } \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - \dfrac{1}{2}\, (\text{thỏa mãn})} \cr {x = 0} \,(\text{loại})\cr} } \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -\dfrac{{ 1}}{2}\).
b) \({\left( {x + 1 + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {\left( {x - 1 - \dfrac{1}{x}} \right)^2}\) (2)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
(2) \(⇔\left[ {\matrix{{x + 1 + \dfrac{1 }{x} = x - 1 - \dfrac{1 }{x}} \cr {x + 1 + \dfrac{1}{x} = - \left( {x - 1 - \dfrac{1 }{ x}} \right)} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 1 + \frac{1}{x} = x - 1 - \frac{1}{x} \hfill \\ x + 1 + \frac{1}{x} = - x + 1 + \frac{1}{x} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + \frac{1}{x} - x + \frac{1}{x} = - 1 - 1 \hfill \\ x + \frac{1}{x} + x - \frac{1}{x} = 1 - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔\left[ {\matrix{{\dfrac{2 }{ x} = - 2} \cr {2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1} (\text{thỏa mãn})\cr {x = 0} \text{ (loại)}\cr}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -1\).
