Ta có: \({a_2} + {a_{2n}} = 42\) \( \Leftrightarrow {a_1} + d + {a_1} + \left( {2n - 1} \right)d = 42\) \( \Leftrightarrow {a_1} + nd = 21\)
Lại có: \({a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126\) \( \Leftrightarrow {a_1} + d + {a_1} + 3d + ... + {a_1} + \left( {2n - 1} \right)d = 126\) \( \Leftrightarrow n{a_1} + d\left( {1 + 3 + ... + 2n - 1} \right) = 126\)
Mà \(1;3;..;2n - 1\) là cấp số cộng công sai \(2\) gồm \(n\) số hạng, số hạng đầu bằng \(1\) nên:
\(1 + 3 + .. + 2n - 1\) \( = \dfrac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).2} \right]}}{2} = {n^2}\)
Do đó \(n{a_1} + d.{n^2} = 126\) \( \Leftrightarrow n\left( {{a_1} + nd} \right) = 126\)
Thay \({a_1} + nd = 21\) ta được \(21n = 126 \Leftrightarrow n = 6\).
Vậy \(n = 6.\)
