Chứng minh thuận: Gọi \(I\) là giao điểm \(3\) đường phân giác trong của \(∆ABC\)
\(\widehat {IBC} =\displaystyle {{\widehat B} \over 2};\) \(\widehat {ICB} = \displaystyle {{\widehat C} \over 2}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \displaystyle {{\widehat B + \widehat C} \over 2}\) mà trong \(∆ABC\) ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - \alpha \)
Suy ra: \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} =\displaystyle {{180^\circ - \alpha } \over 2}\)
Trong \(∆BIC\) ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\)
Suy ra: \(\widehat {BIC} = \displaystyle 180^\circ - {{180^\circ - \alpha } \over 2}\)\( = \displaystyle {{360^\circ - 180^\circ + \alpha } \over 2}\)\( =\displaystyle 90^\circ + {\alpha \over 2}\)
\(Α\) không đổi \( \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) không đổi.
\(I\) thay đổi tạo với \(2\) đầu đoạn \(BC\) cố định một góc bằng \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) không đổi
Vậy \(I\) nằm trên cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) vẽ trên \(BC.\)
Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) lấy điểm \(I’ \) bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ \(BC\) chứa điểm \(I’\) hai tai \(Bx\) và \(Cy\) sao cho \(BI’\) là phân giác của \(\widehat {CBx},CI'\) là phân giác của \(\widehat {BCy}\).
\(Bx\) cắt \(Cy\) tại \(A'.\)
Trong \(∆BI'C\) ta có: \(\widehat {BI'C} = 90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\)
\( \Rightarrow \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = 180^\circ - \widehat {BI'C}\)\( =\displaystyle 180^\circ - \left( {90^\circ + {\alpha \over 2}} \right)\)\( = \displaystyle {{180^\circ - \alpha } \over 2}\)
\(\widehat {CBA'} = 2\widehat {I'BC};\widehat {BCA'} = 2\widehat {I'CB}\)
\( \Rightarrow \widehat {CBA'} + \widehat {BCA'} =\displaystyle 2.{{180^\circ - \alpha } \over 2} \)\(= 180^\circ - \alpha \)
Trong \(∆A'BC\) ta có:
\(\widehat {BA'C} = 180^\circ - (\widehat {CBA'} + \widehat {BCA'}) \)\(= 180^\circ - (180^\circ - \alpha ) = \alpha \)
Kết luận: Vậy quỹ tích giao điểm \(3\) đường phân giác trong \(∆ABC\) khi \(\widehat A = \alpha \) không đổi, \(BC\) cố định là \(2\) cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) vẽ trên \(BC.\)
