a) Điều kiện của phương trình là \(x - 1 > 0\)\( \Leftrightarrow x > 1\). Ta có:
\(\dfrac{{3{x^2} + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {x - 1} }}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 1 = 4\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
Cả hai giá trị x = 1, x = -1 đều không thỏa mãn điều kiện x > 1.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Điều kiện của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 4 \ge 0}\\{x + 4 > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 4}\\{x > 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow x > - 4\), Ta có:
\(\dfrac{{x{}^2 + 3x + 4}}{{\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} \)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = x + 4\)
⟺\({x^2} + 2x = 0\)\( \Leftrightarrow x(x + 2) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x + 2 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\)
Cả hai giá trị \({x_1} = 0\) và \({x_2} = - 2\) đều thỏa mãn điều kiện x > -4 và nghiệm đúng phương trình đã cho.
c) Điều kiện của phương trình là. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2 \ge 0}\\{3x - 2 > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x \ge 2}\\{3x > 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \dfrac{2}{3}}\\{x > \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{3}\)
Ta có:
\(\dfrac{{3{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {3x - 2} }} = \sqrt {3x - 2} \)\( \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 2 = 3x - 2\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x = 0\)\( \Leftrightarrow x(3x - 4) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
Chỉ có giá trị \(x = \dfrac{4}{3}\) thỏa mãn điều kiện \(x > \dfrac{2}{3}\) và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{4}{3}\).
d) Điều kiện của phương trình là \(x - 1 \ne 0\)\( \Leftrightarrow x \ne 1\)
Ta có:
\(2x + 3 + \dfrac{4}{{x - 1}} = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\)
\( \Leftrightarrow (2x + 3)(x - 1) + 4 = {x^2} + 3\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
Giá trị x = 1 bị loại do vi phạm điều kiện \(x \ne 1\) và giá trị x = -2 nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2.
