Xét đường tròn \((O)\) ta có:
\(\widehat C\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)
\(\widehat{BAt}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AB.\)
\(\Rightarrow \widehat {BAt} = \widehat C.\) (1)
Lại có vì \(MN//At\) nên \(\widehat{AMN} = \widehat {BAt}\) (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat{AMN} = \widehat C\) (3)
Xét hai tam giác \(AMN\) và \(ACB\) ta có:
\(\widehat A\) chung
\(\widehat M = \widehat C \, \, (theo (3))\)
Vậy \(∆AMN\) đồng dạng \(∆ACB \, (g-g)\)
\(\displaystyle \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Rightarrow AB. AM = AC . AN\) (đpcm).
