a) Xét \(\Delta AOB\) có:
\(P\) là trung điểm của \(OA\) (gt)
\(Q\) là trung điểm của \(OB\) (gt)
Do đó \( PQ\) là đường trung bình của \(∆ OAB.\)
\( \Rightarrow \displaystyle PQ = {1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow \displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\) (1)
Xét \(\Delta OAC\) có:
\(P\) là trung điểm của \(OA\) (gt)
\(R\) là trung điểm của \(OC\) (gt)
Do đó \(PR\) là đường trung bình của tam giác \(OAC.\)
\( \Rightarrow \displaystyle PR = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )
\( \Rightarrow \displaystyle{{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (2)
Xét \(\Delta OBC\) có:
\(Q\) là trung điểm của \(OB\) (gt)
\(R\) là trung điểm của \(OC\) (gt)
Do đó \(QR\) là đường trung bình của tam giác \(OBC.\)
\( \Rightarrow \displaystyle QR = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác )
\( \Rightarrow \displaystyle{{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\)
Vậy \(∆ PQR\) đồng dạng \(∆ ABC \) (c.c.c).
b) Gọi \(p’\) là chu vi tam giác \(PQR.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\displaystyle {{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}}\)\(\,\displaystyle = {{PQ + PR + QR} \over {AB + AC + BC}} = {{p'} \over p}=\dfrac{1}{2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow p' = {1 \over 2}p = {1 \over 2}.543 = 271,5\; (cm)\).
