a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\).
Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là: \(\overrightarrow u = (1; - 1;0)\) và \(\overrightarrow u ' = ( - 1;1;1)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\)
\((\alpha )\) đi qua điểm M1(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến: \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}} = (1;1;0)\)
Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \(x – 1 + y + 1=0 \) hay \(x + y = 0\)
Ta có: M2((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)
\(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|2 + 2|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)
b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là:
\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z = - 3t'}\end{array}} \right.\)
Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0
Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\).
Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|5.(2) - 22|}}{{\sqrt {81 + 25 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).
