Bài 3.39 trang 131 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta ':\dfrac{{x + 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{4}\)

a) Xét vị trí tương đối giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\);

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \(\Delta '\).

a) \(\Delta \) đi qua điểm M₀(1; -3; 4) và có vecto chỉ phương  \(\overrightarrow a  = (2;1; - 2)\)

\(\Delta '\) đi qua điểm M₀’ (-2; 1; -1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {a'}  = ( - 4; - 2;4)\)

Ta có  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {a'}  = 2\overrightarrow a }\\{{M_0} \notin \Delta '}\end{array}} \right.\)

Vậy  \(\Delta '\) song song với \(\Delta \)

b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M{'_0}}  = ( - 3;4; - 5)\), \(\overrightarrow a  = (2;1; - 2)\)

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} ,\overrightarrow a } \right] = ( - 3; - 16; - 11)\)

\(d(\Delta ,\Delta ') = M{'_0}H = \dfrac{{|\overrightarrow n |}}{{|\overrightarrow a |}}\)\( = \dfrac{{\sqrt {9 + 256 + 121} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {386} }}{3}\)