\(x = -2\) là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\), ta có:
\(4a - 2b + c = 0\)
\(x = 3\) là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) ta có:
\(9a + 3b + c = 0\)
Ba số \(a, b, c\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a - 2b + c = 0} \cr
{9a + 3b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5a + 5b = 0} \cr
{4a - 2b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - a} \cr
{4a - 2\left( { - a} \right) + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - a} \cr
{c = - 6a} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy với mọi \(a ≠ 0\) ta có:\(\left\{ {\matrix{ {b = - a} \cr {c = - 6a} \cr} } \right.\)
thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm \(x_1=-2;\)\(x_2=3.\)
Ví dụ: \(a = 2,\)\( b = -2,\)\( c = -12\) ta có phương trình:
\(\eqalign{
& 2{x^2} - 2x - 12 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \)
Có nghiệm: \({x_1} = - 2;{x_2} = 3\)
Có vô số bộ ba \(a, b, c\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
