Vẽ hình chữ nhật \(ABCD\) với các trung điểm các cạnh \(M, N, P, Q.\)
Vẽ tứ giác \(MNPQ\)
Ta có \(MN = PQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(NP = MQ = \dfrac{1}{2} AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Mà \(AC = BD\) (tính chất hình chữ nhật) nên suy ra \(MN = PQ = NP = MQ.\)
Nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Ta có: \(∆AMN = ∆INM , ∆BPN = ∆NIP, \)\(\,∆PCQ = ∆IQP, ∆DMQ = ∆IQM\)
\( \Rightarrow {S_{AMN}} = {S_{INM}},{S_{BPN}} = {S_{NIP}},\)\({S_{PCQ}} = {S_{IQP}},{S_{DMQ}} = {S_{IQM}}\)
Ta có:
\({S_{MNPQ}} = {S_{MNI}} + {S_{NIP}} + {S_{IQP}} \)\(+ {S_{MQI}}\)
\(\begin{array}{l}= {S_{AMN}} + {S_{BNP}} + {S_{PCQ}} + {S_{MQD}}\\ = \dfrac{1}{2}{S_{ABC{\rm{D}}}} = \dfrac{1}{2}.AB.AD \\= \dfrac{1}{2}.MP.NQ\end{array}\)
Vậy \({S_{MNPQ}}=\dfrac{1}{2} MP.NQ\).
Do đó diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.
