Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG'} \cr
& + \,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NG'} \cr
& \,\,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PG'} \cr} \)
Cộng từng vế với vế ta có:
\(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} } \right)\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\displaystyle \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên \(\displaystyle \overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} = \overrightarrow 0 \).
Do đó: \(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} \)
Hay \(\displaystyle \overrightarrow {GG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \)
Vì điểm G cố định và \(\displaystyle {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \) là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.
