a) Phương trình \(5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ' = 0\)
\(\Delta ' = {m^2} - 5\left( { - 2m + 15} \right) \)\(\,= {m^2} + 10m - 75 \)
\( \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 75 = 0 \)
\(\Delta '_m = {5^2} - 1.\left( { - 75} \right) = 25 + 75 \)\(\,= 100 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '_m} = \sqrt {100} = 10 \)
\(\displaystyle {m_1} = {{ - 5 + 10} \over 1} = 5 \)
\( \displaystyle {m_2} = {{ - 5 - 10} \over 1} = - 15 \)
Vậy \(m = 5\) hoặc \(m = -15\) thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
b) Phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(m \ne 0\) và \(\Delta ' = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m.\left( { - 8} \right) \cr
& = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8m \cr
& = 4{m^2} - 8m + 4 + 8m \cr
& = 4{m^2} + 4 \cr
& \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 = 0 \cr} \)
Ta có \(4{m^2} \ge 0 \Rightarrow 4{m^2} + 4 \ge 4\) với mọi \(m\).
Vậy không có giá trị nào của \(m\) để phương trình có nghiệm kép.
