a) Năm số hạng đầu là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.\)
b) Lập tỉ số \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Theo công thức định nghĩa ta có \(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{1}{3}\) hay \({v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.\)
Vậy, dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân, có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}.\)
c) Do \(\left( {{y_n}} \right)\) là CSN có \({v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}\) nên \({v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.\)
Suy ra \({u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}\).
Vậy \({u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}.\)
