a)Phương trình đã cho tương đương với phương trình
\((m - 1)(m + 3)x = 4(m - 1)\).
Với \(m \ne 1\) và \(m \ne - 3\)phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{4}{{m + 3}}\);
Với \(m = 1\) mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình;
Với \(m = - 3\) phương trình vô nghiệm.
b)Điều kiện \(2x - 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{2}\)
Khi đó ta có
\(\dfrac{{(m + 3)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\) \( \Leftrightarrow (m + 2)x = (3m + 2)(2x - 1)\)
\( \Leftrightarrow (5m + 1)x = 3m + 2\).
Nếu \(m \ne - \dfrac{1}{5}\)thì phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\).
Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi
\(\dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}} \ne \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow 6m + 4 \ne 5m + 1\) \( \Leftrightarrow m \ne - 3\)
Nếu \(m = - \dfrac{1}{5}\)phương trình cuối vô nghiệm.
Kết luận.
Với \(m = - \dfrac{1}{5}\)hoặc \(m = - 3\) phương trình đã cho vô nghiệm.
Với \(m \ne - \dfrac{1}{5}\)và \(m \ne - 3\)nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \dfrac{{3m + 2}}{{5m + 1}}\).
c)Điều kiện \(x + 3 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne - 3\). Khi đó ta có:
\(\dfrac{{8mx}}{{x + 3}} = (4m + 1)x + 1\) \( \Leftrightarrow 8mx = {\rm{[}}(4m + 1)x + 1](x + 3)\)
\( \Leftrightarrow (4m + 1){x^2} + 4(m + 1)x + 3 = 0.(1)\)
Với \(m = - \dfrac{1}{4}\)phương trình (1) trở thành
\(3x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x \ne - 3\)
Với \(m \ne - \dfrac{1}{4}\)phương trình (1) là một phương trình bậc hai có
\({\Delta ^'} = {(2m - 1)^2} \ge 0\).
Lúc đó phương trình (1) có hai nghiệm
\({x_1} = - \dfrac{3}{{4m + 1}},{x_2} = - 1\).
Ta có \( - \dfrac{3}{{4m + 1}} \ne - 3\) \( \Leftrightarrow 4m + 1 \ne 1 \Leftrightarrow m \ne 0\)
Kết luận
Với \(m = 0\) hoặc \(m = - \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có một nghiệm \(x = - 1\)
Với \(m \ne 0\)và \(m \ne - \dfrac{1}{4}\)phương trình đã cho có hai nghiệm
\(x = - 1\) và \(x = - \dfrac{3}{{4m + 1}}\).
d)Điều kiện của phương trình là \(x \ne 2\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{(2 - m)x}}{{x - 2}} = (m - 1)x - 1\) \( \Leftrightarrow (2 - m)x = (x - 2){\rm{[}}(m - 1)x - 1]\)
\( \Leftrightarrow (m - 1){x^2} - (m + 1)x + 2 = 0(2)\)
Với \(m = 1\) phương trình (2) có dạng
\( - 2x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\)
Với \(m \ne 1\) thì phương trình (2) là một phương trình bậc hai có :
\(\Delta = {(m - 3)^2} \ge 0\).
Lúc đó phương trình (2) có hai nghiệm
\({x_1} = 1,{x_2} = \dfrac{2}{{m - 1}}\).
Ta có \(\dfrac{2}{{m - 1}} \ne 2\) \( \Leftrightarrow m - 1 \ne 1\) \( \Leftrightarrow m \ne 2\)
Kết luận :
Với \(m = 1\) và \(m = 2\) phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = 1\).
Với \(m \ne 1\)và \(m \ne 2\)phương trình đã cho có hai nghiệm
\(x = 1\) và \(x = \dfrac{2}{{m - 1}}\)
